Gemengde strategieën in de praktijk: voorspelbaar worden vermijden

Waarom voorspelbaarheid punten kost

Neem steen-papier-schaar met +1 voor winst en −1 voor verlies. Speelt je tegenstander 40% steen en 30% van de andere twee, dan levert papier jou gemiddeld +0,1 per ronde op. Over honderd rondes is dat een voorsprong van tien punten, puur omdat de ander een lichte voorkeur had. Dat is de kern van deze gids: elke vaste gewoonte die een tegenstander kan herkennen, is een gewoonte waar hij op kan inspelen.

Mensen zijn bovendien slechte toevalsgeneratoren: we wisselen te vaak af, vermijden herhalingen en vallen onder druk terug op een favoriet.

Stap 1: herken een raadspel

Afwisselen is niet altijd nodig. Het loont in situaties met drie kenmerken:

• je tegenstander kiest (bijna) tegelijk met jou, of zonder jouw keuze te kennen;
• zijn beste keuze hangt af van wat jij kiest;
• er is geen optie die altijd de beste is — anders speel je die gewoon.

Voorbeelden: waar je in Stratego je vlag neerzet, aan welke kant je een aanval opent, welke van twee gelijkwaardige kaarten je in een slagenspel bijspeelt, en met welke opening je een partij schaak begint.

Stap 2: bepaal de verhouding

De sleutel is het onverschilligheidsprincipe: kies je kansen zo dat het voor je tegenstander niet meer uitmaakt wat hij doet. Dan valt er niets meer uit te buiten.

Een voorbeeld in Stratego, met getallen die we ter illustratie hebben bedacht. Je twijfelt tussen twee plekken voor je vlag: achter in de linkerhoek, waar je verdediging sterk is, of achter in de rechterhoek, waar die zwakker is. Je tegenstander kiest welke kant hij als eerste stevig aanvalt. In de matrix staat de kans dat hij je vlag verovert.

Zet je de vlag altijd links, dan valt een tegenstander die je kent altijd links aan: 30% kans dat je verliest. Altijd rechts is nog erger: 60%. Stel nu dat je de vlag met kans p links zet. Dan is de kans op verlies:

bij aanval links: 0,30p + 0,10(1 − p) = 0,10 + 0,20p
bij aanval rechts: 0,10p + 0,60(1 − p) = 0,60 − 0,50p

De aanvaller is onverschillig als beide gelijk zijn: 0,70p = 0,50, dus p = 5/7 ≈ 71%. De kans dat je vlag valt, is dan 0,10 + 0,20 · 5/7 ≈ 24,3%, wat de aanvaller ook doet. Dat is beter dan elke vaste keuze. Let op de logica: je kiest vaker de sterke kant, maar níét altijd. Juist die kleine kans op de zwakke kant houdt de aanvaller eerlijk.

Stap 3: kies echt willekeurig

Een verhouding uitrekenen is één ding, haar aan tafel uitvoeren iets anders. Vertrouw niet op je gevoel, maar gebruik een eenvoudig hulpmiddel:

• Een dobbelsteen. Voor 2/3 tegen 1/3: 1 tot en met 4 is links, 5 of 6 is rechts. Kom je niet precies uit, kies dan de dichtstbijzijnde verhouding.
• De secondewijzer. Kijk ongemerkt op een klok: seconde 0 tot en met 42 is links, 43 tot en met 59 is rechts. Dat geeft 43/60 ≈ 72%, heel dicht bij 5/7.
• Een apart stapeltje: vijf rode en twee zwarte kaarten geven precies 5/7.

Een benadering kost weinig. Zet je de vlag met de dobbelsteen in 2/3 van de gevallen links, dan kiest een slimme aanvaller rechts en verovert hij de vlag in 0,60 − 0,50 · 2/3 ≈ 26,7% van de gevallen: maar 2,4 procentpunt slechter dan het optimum, en ruim beter dan altijd links (30%).

Toepassingen aan tafel

Slagenspellen: gelijkwaardige kaarten

Heb je bij een slagenspel twee kaarten die precies hetzelfde doen — bijvoorbeeld vrouw en boer in dezelfde kleur, terwijl de heer en de aas al gespeeld zijn — speel dan niet altijd dezelfde bij. Wie steeds de laagste kiest, vertelt zijn tegenstanders met elke kaart wat hij nog heeft. Bridgespelers kennen een verwante redenering als het principe van de beperkte keuze: een speler die uit twee gelijke kaarten kon kiezen, speelt elk ervan ongeveer even vaak, en daaruit valt weer iets af te leiden over zijn hand. Let wel: tegenover je partner wil je juist duidelijk zijn. Afwisselen doe je alleen waar het de tegenstander meer helpt dan je partner.

Schaken: een gevarieerd openingsrepertoire

In het speelgoedmodel op de pagina Speltheorie haalt wit 0,56 punt per partij door 1.e4 en 1.d4 ongeveer even vaak te spelen, tegenover 0,52 als hij voorspelbaar altijd 1.d4 kiest. In de praktijk betekent dat: houd twee of drie openingen paraat en laat je keuze niet afhangen van vaste gewoonten zoals het toernooi of de kleur van je vorige partij.

Stratego: meer dan alleen de vlag

Hetzelfde geldt voor de rest van je opstelling. Staan je bommen altijd rond de vlag, dan verraden ze de vlag. Varieer de plek van je sterke stukken en zet soms een bom op een plek die niets beschermt. Zo dwing je je tegenstander om echt te verkennen in plaats van te raden.

Wanneer je níét moet mengen

Een gemengde strategie is een vangnet: ze garandeert je de waarde van het spel, wat de ander ook doet. Maar ze haalt niet het maximale uit een tegenstander die zelf voorspelbaar is. Zet een beginner zijn vlag aantoonbaar altijd rechtsachter, val dan gewoon rechts aan. Het risico is wel dat je daarmee zelf voorspelbaar wordt; een tegenstander die zich aanpast, kan de rollen omdraaien. Heb je een dominante keuze, dan is mengen sowieso overbodig: speel de beste zet.