Verwachte waarde in strategische keuzes

Wat verwachte waarde is — en wat niet

De verwachte waarde van een keuze is het gemiddelde resultaat als je dezelfde situatie heel vaak zou herhalen. Je berekent haar door elke mogelijke uitkomst te vermenigvuldigen met haar kans en alles op te tellen:

E = kans₁ · punten₁ + kans₂ · punten₂ + … + kansₙ · puntenₙ

Eén dobbelsteen heeft een verwachte waarde van (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5. Je gooit nooit 3,5, maar over honderd worpen kom je dicht bij 350 ogen uit. De verwachte waarde zegt dus iets over de lange termijn, niet over de volgende worp.

Voorbeeld 1: een startplek kiezen in Catan

In Catan gooi je elke beurt met twee dobbelstenen. Elk landvak heeft een getal; valt dat getal, dan krijgt elke aangrenzende nederzetting één grondstof. Hoe vaak een getal valt, volgt uit de verdeling van de som van twee dobbelstenen:

De stipjes op de getalschijfjes van Catan geven precies dit aantal combinaties weer. Een nederzetting grenst aan maximaal drie landvakken, dus haar verwachte opbrengst per worp is de som van de kansen van die drie getallen. Vergelijk twee plekken:

• Plek A aan de getallen 6, 5 en 9: (5 + 4 + 4) / 36 = 13/36 ≈ 0,36 grondstof per worp.
• Plek B aan de getallen 4, 10 en 11: (3 + 3 + 2) / 36 = 8/36 ≈ 0,22 grondstof per worp.

Over 60 worpen — een flink deel van een partij — levert plek A gemiddeld ongeveer 21,7 grondstoffen op en plek B ongeveer 13,3. Dat scheelt ruim 60%.

Het verschil zit niet alleen in het gemiddelde, maar ook in de droogteperiodes. De kans dat plek A in tien worpen niets oplevert is (23/36)¹⁰ ≈ 1,1%; voor plek B is dat (28/36)¹⁰ ≈ 8,1%. Met de rekenhulp Minstens één keer raak reken je zulke reeksen zelf na.

Toch is plek A niet automatisch de beste. Verwachte waarde telt grondstoffen als gelijkwaardig, terwijl je in de praktijk een mix nodig hebt en sommige grondstoffen schaarser zijn. Gebruik de verwachte opbrengst als vertrekpunt en weeg daarna de soort grondstoffen en eventuele havens mee.

Voorbeeld 2: herwerpen in een dobbelspel als Yahtzee

In dobbelspellen als Yahtzee gooi je vijf dobbelstenen en mag je per beurt twee keer opnieuw werpen met de stenen die je niet wilt houden. In de gangbare puntentelling levert een kleine straat (vier opeenvolgende ogen) 30 punten op, een grote straat (vijf opeenvolgend) 40 en vijf gelijke 50.

Een kans zonder risico

Na je tweede worp ligt er 2-3-4-5-5 en je hebt nog één worp. De kleine straat 2-3-4-5 heb je al. Houd je die vier stenen en werp je één vijf opnieuw, dan maak je een grote straat met een 1 of een 6: kans 2/6 = 1/3. Lukt het niet, dan heb je nog steeds je kleine straat.

E(opnieuw werpen) = 1/3 · 40 + 2/3 · 30 ≈ 33,3 punten > 30 punten (stoppen)

Opnieuw werpen levert gemiddeld 3,3 punten extra op, zonder dat je iets kunt kwijtraken.

Doorgaan voor vijf gelijke

Na je eerste worp heb je drie zessen en twee losse stenen, met nog twee worpen te gaan. Hoe groot is de kans op vijf zessen als je steeds alleen de niet-zessen opnieuw werpt? Voor elke losse steen is de kans dat hij binnen twee worpen een zes wordt 1 − (5/6)² = 11/36. Beide stenen moeten slagen:

P(vijf zessen) = (11/36)² = 121/1296 ≈ 9,3%

Speel je in plaats daarvan voor het vak "zessen" (de som van je zessen), dan levert elke losse steen gemiddeld 11/36 zes op. Je verwachte score in dat vak is (3 + 2 · 11/36) · 6 ≈ 21,7 punten. Beide berekeningen gaan over dezelfde worpen; het verschil zit in welk vak je uiteindelijk invult.

Let op het vak dat je opgebruikt

Hier zit een valkuil. Verwachte waarde per beurt is niet het hele verhaal, omdat elk vak maar één keer gevuld kan worden. Met 6-6-6-3-3 heb je een full house (25 punten). Werp je de twee drieën opnieuw voor vijf zessen, dan slaag je in slechts 1/36 ≈ 2,8% van de gevallen. Mislukt het, dan kun je de som van je stenen nog bij "drie gelijke" invullen (gemiddeld 18 + 2 · 3,5 = 25 punten), maar dan gebruik je wél dat vak op en moet je de full house later opnieuw zien te gooien. Een eerlijke vergelijking kijkt dus ook naar wat een keuze je later kost.

Verwachte waarde én spreiding

Twee keuzes kunnen dezelfde verwachte waarde hebben en toch heel anders uitpakken. Een vaste 30 punten en een kans van 50% op 60 punten zijn gemiddeld gelijk, maar de tweede keuze heeft een veel grotere spreiding. Welke beter is, hangt af van je doel. Sta je in de laatste beurt 35 punten achter, dan is alleen de riskante keuze zinvol: je wilt de kans op winst maximaliseren, niet je gemiddelde score. Sta je ruim voor, dan kies je juist de zekerheid.

Stappenplan

1. Zet je opties op een rij.
2. Schrijf per optie de mogelijke uitkomsten op, met hun kans en hun waarde in punten.
3. Vermenigvuldig en tel op: dat is de verwachte waarde per optie.
4. Kijk naar de spreiding en naar je doel: gaat het om gemiddeld veel punten of om één bepaalde drempel?
5. Weeg bijeffecten mee: welk vak, welke positie of welke grondstof gebruik je op?