Kansen tellen bij kaartspellen: outs en hoe je ze telt

Wat is een out?

Een out — in het Nederlands ook wel een verbeterkaart — is een kaart die je nog niet hebt gezien en die je, als je hem trekt, dichter bij je doel brengt. Heb je bij rummy de schoppen 5, 6 en 8 en zoek je de schoppen 7 om de reeks te sluiten, dan heb je precies één out. Zoek je een derde boer bij een paar boeren, dan zijn er nog twee boeren in het spel: twee outs.

Het tellen draait om één onderscheid: gezien of ongezien. Kaarten in je eigen hand, op de aflegstapel of open op tafel heb je gezien; die kunnen niet meer uit de stapel komen. Kaarten in de handen van je tegenstanders heb je níét gezien. Die tel je dus mee bij de ongeziene kaarten, ook al liggen ze feitelijk niet in de trekstapel.

Een out die al zichtbaar is, heet een dode out. Wie die vergeet af te trekken, overschat zijn kansen stelselmatig.

De basisformule

Noem het aantal ongeziene kaarten U en het aantal outs o. Bij één trekking is de kans op een out simpelweg o/U. Bij meer trekkingen reken je via het complement: de kans dat je géén enkele out trekt, afgetrokken van 1.

één trekking: P = o / U
twee trekkingen: P = 1 − (U − o)/U · (U − o − 1)/(U − 1)
k trekkingen: P = 1 − C(U − o, k) / C(U, k)

De laatste regel is de hypergeometrische verdeling, toegepast op "minstens één": trekken zonder teruglegging, dus elke getrokken kaart maakt de stapel kleiner.

Voorbeeld 1: een oefening met harten

Je hebt vijf kaarten van een geschud spel van 52 bekeken: vier harten en één klaveren. Hoe groot is de kans dat de volgende kaart ook een harten is? Er zijn 13 harten, waarvan je er 4 al hebt gezien, dus o = 9. Ongezien zijn 52 − 5 = 47 kaarten.

• Eén kaart: 9/47 ≈ 19,1%.
• Twee kaarten: de kans op twee keer géén harten is 38/47 · 37/46 = 1406/2162 ≈ 65,0%, dus de kans op minstens één harten is ≈ 35,0%.

De vuistregel: 2% per out per trekking

Uit je hoofd delen door 47 is lastig. Omdat 1/47 ongeveer 2,1% is, gebruiken veel spelers een vuistregel: tel je outs en vermenigvuldig met 2 voor één trekking, met 4 voor twee trekkingen. In het hartenvoorbeeld geeft dat 18% (exact 19,1%) en 36% (exact 35,0%): beide keren zit je er ongeveer één procentpunt naast. Prima voor een snelle inschatting.

Bij één trekking zit de regel steeds iets te laag, omdat 2% net onder 1/47 ligt. Bij twee trekkingen zit hij bij veel outs juist te hoog. De reden: "×4" telt de kans van beide trekkingen op, maar dan tel je de situaties waarin je twee keer een out trekt dubbel. Bij weinig outs is die overlap klein; bij 15 outs scheelt het bijna 6 procentpunt.

Voorbeeld 2: Pesten zonder passende kaart

In een eenvoudige Pesten-variant zonder jokers ligt de schoppen 9 open op de stapel. Je hebt vier kaarten in je hand, maar geen schoppen en geen negen, dus je moet een kaart trekken. Welke kaarten kun je dan meteen opleggen? Elke schoppen (13 min de schoppen 9 die al open ligt = 12) en elke andere negen (3): samen 15 outs. Gezien heb je 5 kaarten, dus 47 zijn ongezien.

De exacte kans is 15/47 ≈ 31,9%; de vuistregel geeft 30%. Zou je twee kaarten mogen trekken, dan zegt de regel 60%, terwijl het in werkelijkheid 54,1% is.

Voorbeeld 3: rummy met een dode out en een kleinere stapel

Je speelt rummy met één spel van 52 kaarten. Bijna je hele hand ligt al in combinaties; over zijn nog een paar vrouwen (harten en schoppen) en de klaveren 6 en 7. Een derde vrouw of een kaart die de klaveren tot een reeks van drie maakt, en je kunt je hand afmaken. Je outs zijn de ruiten- en de klaverenvrouw en de klaveren 5 en 8: vier kaarten. Maar de klaveren 8 ligt al ergens middenin de aflegstapel — een dode out. Er blijven 3 outs over.

Tot nu toe heb je 15 kaarten gezien (je hand en de aflegstapel), dus 37 zijn ongezien. Hoe groot is de kans dat je binnen je volgende drie beurten een out trekt?

P = 1 − (34 · 33 · 32) / (37 · 36 · 35) = 1 − 35 904 / 46 620 ≈ 23,0%

De vuistregel (3 outs × 2% × 3 trekkingen) geeft 18% en zit nu vijf procentpunt te laag. Dat komt doordat de stapel kleiner is geworden: met 37 ongeziene kaarten is elke out per trekking ongeveer 2,7% waard in plaats van 2%. Hoe verder een partij gevorderd is, hoe meer de vuistregel je kansen onderschat.

Twee kanttekeningen. Ten eerste veranderen de outs als je tegenstander iets aflegt: gooit hij de klaverenvrouw weg, dan wordt die een dode out (of, als je hem mag oppakken, juist je redding). Ten tweede maakt het voor de kans niet uit dat je tegenstander tussendoor ook trekt, zolang je niet ziet wat hij pakt: voor jou blijft elke ongeziene kaart even waarschijnlijk.

Wanneer welke methode?

• Aan tafel, snel: outs × 2 per trekking. Goed genoeg bij rond de 45 tot 50 ongeziene kaarten en één of twee trekkingen.
• Kleine of al flink geslonken stapel: reken per trekking met 100/U procent per out in plaats van 2%.
• Drie of meer trekkingen, of je wilt het zeker weten: reken exact, bijvoorbeeld met de outs-rekenhulp.